Difensore centrale argentino cresciuto nel settore giovanile del Boca Juniors, Aaron Anselmino ha attirato l'attenzione del calcio europeo giovanissimo prima di trasferirsi al Chelsea nel 2024.
Nato a Bernardo Larroudé, nella provincia argentina di La Pampa, il 29 aprile 2005, Anselmino muove i primi passi nelle giovanili di Juventud Unida e Sportivo Realicó prima di entrare nel settore giovanile del Boca Juniors all'età di dodici anni.
La crescita a Buenos Aires è rapida. Il 10 giugno 2023 firma il primo contratto professionistico con il Boca Juniors e nello stesso giorno debutta in prima squadra contro il Lanús.
Nel corso del 2023 trova progressivamente spazio nella rosa principale e accumula le prime presenze nelle competizioni argentine. La sua fisicità e la capacità di leggere l'azione lo rendono uno dei giovani difensori più interessanti del club.
Nel 2024 conquista maggiore continuità e realizza il primo gol tra i professionisti nella Copa Sudamericana contro il Nacional Potosí. Nello stesso anno segna anche in Copa Argentina contro il Gimnasia.
Nell'agosto 2024 il Chelsea ufficializza il suo acquisto con un contratto di sette anni. Per permettergli di continuare la propria crescita, il difensore viene inizialmente lasciato in prestito al Boca Juniors.
All'inizio del 2025 rientra a Londra dopo aver collezionato diciotto presenze nella sua esperienza in prestito. Rimane nel gruppo del Chelsea e debutta con la prima squadra nel giugno 2025, entrando nei minuti finali della sfida di FIFA Club World Cup contro il Benfica.
Nell'agosto 2025 viene mandato in prestito al Borussia Dortmund. In Germania debutta da titolare nella vittoria per 3-0 contro l'Union Berlin e conquista rapidamente spazio nella difesa giallonera.
Con il Dortmund segna il primo gol in Germania nella vittoria per 2-1 contro il Bayer Leverkusen e fornisce anche un assist in Champions League contro il Villarreal. Un infortunio muscolare limita però la sua continuità e il prestito termina con dieci presenze.
Nel febbraio 2026 passa in prestito allo Strasbourg. Dopo tre presenze in Ligue 1, un nuovo problema fisico interrompe la sua stagione.
Nell'estate 2026 torna al Chelsea e viene inserito stabilmente nella rosa della prima squadra. A soli 21 anni affronta così una nuova stagione a Stamford Bridge con l'obiettivo di conquistare un posto stabile nella difesa dei Blues.